Formulating the thermodiffusion problem with large changes in temperature and concentration of the diffusing substance

openaccess, Vol. 644 (04) 2026 / piątek, 24 kwietnia, 2026

Sformułowanie zagadnienia termodyfuzji sprzężonej przy dużych zmianach temperatury i stężenia substancji dyfundującej

(Open Access)

DOI: 10.15199/33.2026.04.03

citation/cytuj: Sosnowska M., Lachowicz M., Podhorecki A. Formulating the thermodiffusion problem with large changes in temperature and concentration of the diffusing substance. Materiały Budowlane. 2026. Volume 644. Issue 04. Pages 16-26. DOI: 10.15199/33.2026.04.03

The paper considers the initial-boundary problem of nonlinear coupled thermodiffusion with large changes in temperature and concentration of the diffusing substance and finite deformations. In connection with this, the constitutive equations, the extended equation of thermal conductivity (Fourier’s equations) and the extended equation of diffusion (Fick’s laws) were generalized. Finally, the above problem was formulated in the stationary Lagrangian description. There are many practical examples when large, rapid changes in temperature and diffusion occur in the analyzed medium, leading to the equalization of temperature and concentration of the diffusing substance. In such a case, a geometrically nonlinear problem also arises (large deformations), the material parameters become functions of temperature, concentration of the diffusing substance and time. The derived equations provide a basis, e.g. for the presentation of differential equations in the incremental version in the updated Lagrangian description, for the use of various justified linearizations. To solve the problem defined in this way, various effective numerical methods can then be introduced, e.g. the finite element method, the space-time finite element method.

W artykule rozważano początkowo-brzegowy problem nieliniowej sprzężonej termodyfuzji z dużymi zmianami temperatury i stężenia substancji dyfundującej oraz skończonymi odkształceniami. W związku z tym uogólniono równania konstytutywne, rozszerzone równanie przewodnictwa cieplnego (równania Fouriera) oraz rozszerzone równanie dyfuzji (prawa Ficka). Ostatecznie problem ten sformułowano w stacjonarnym opisie Lagrange’a. Istnieje wiele praktycznych przykładów, w których w analizowanym ośrodku zachodzą duże, szybkie zmiany temperatury i dyfuzji, prowadzące do wyrównania temperatury i stężenia substancji dyfundującej. W takim przypadku pojawia się problem geometrycznie nieliniowy (duże odkształcenia), parametry materiałowe stają się funkcjami temperatury, stężenia substancji dyfundującej i czasu. Wyprowadzone równania stanowią podstawę, np. do przedstawienia równań różniczkowych w wersji przyrostowej w zaktualizowanym opisie Lagrange’a, do wykorzystania różnych uzasadnionych linearyzacji. Aby rozwiązać tak zdefiniowany problem, można wprowadzić różne skuteczne metody numeryczne, np. metodę elementów skończonych, metodę elementów czasoprzestrzennych.
initial-boundary problem; thermodiffusion; large changes in temperature and concentration of the diffusing substance; finite deformations; local formulation.

zagadnienie początkowo-brzegowe; duże zmiany temperatury i stężenia substancji dyfundującej; skończone deformacje; sformułowanie lokalne.
  1. Nowacki W, Olesiak ZS. Termodyfuzja w ciałach stałych, PWN, Warszawa 1991.
  2. Koniorczyk M., Wybrane aspekty trwałości kompozytów cementowych narażonych na korozję mrozową – analiza eksperymentalna i teoretyczna, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź 2022.
  3. Fung YC, Foundations of Solid Mechanics, Prentice Hall, Hoboken 1965.
  4. Lei J, Wang Q, Liu X, Gu Y, Fan CM. A novel space-time generalized FDM for transient heat conduction problems, Engineering Analysis With Boundary Elements, 119: 1‒12, 2020.
  5. Leitner M, Schanz M. Generalized convolution quadrature based boundary element method for uncoupled thermoelasticity, Mechanical Systems and Signal Processing, 150: 107‒234, 2021.
  6. Lanzara F, Maz’ya V, Schmidt G. Approximation of Uncoupled Quasi-Static Thermoelasticity Solutions Based on Gaussians, Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 25: 14, 2023.
  7. Sheng H, Vaysfeld N, Zhuravlova Z. Uncoupled thermoelasticity problem for a finite rectangular composite, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 202400657: 1‒12, 2024.
  8. Sun L, Ji Z, Zhang Q, Wei X, Yu Y. Analysis of transient uncoupled thermoelasticity using the singular boundary method, International Communications in Heat and Mass Transfer162, 108594, 2025.
  9. Fesenko A, Vaysfeld N. An uncoupled thermoelasticity problem for a semi- -infinite layer with regard of its proper weight, Fracture and Structural Integrity, 13, 48: 768–792, 2019.
  10. Podhorecki A. Podstawy teoretyczne metody elementów czasoprzestrzennych, Wydawnictwo Uczelniane Akademii Techniczno–Rolniczej w Bydgoszczy, Bydgoszcz 2005.
  11.  Shivay ON, Mukhopadhyay S. On the solution of a problem of extended thermoelasticity theory (ETE) by using a complete finite element approach, Computational Methods in Science and Technology, 25 (2): 61‒70, 2019.
  12.  Madureiraa RLR, Rinconb MA, Aouadic M. Numerical analysis for a thermoelastic diffusion problem in moving boundary, Mathematics and Computers in Simulation, 187: 630–655, 2021.
  13.  Sosnowska M. Modelowanie termodyfuzji sprzężonej metodą elementów czasoprzestrzennych, Wydawnictwa Uczelniane PBŚ, Bydgoszcz 2023.
  14.  Sosnowska M, Lachowicz M, Podhorecki A. Uogólnienie zasady Hamiltona na zagadnienie termodyfuzji sprzężonej, Materiały Budowlane, 2: 17‒20, 2024.
  15.  Nataraj N, Ruiz-Baier R, Yousuf A. Unified numerical analysis for thermoelastic diffusion and thermo-poroelasticity of thin plates, arXiv: 2506.14455 [math.NA]: 1‒39, 2025
  16. van Duijn CJ, Mikelić A, Wick T. Mathematical theory and simulations of thermoporoelasticity, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 366: 1‒38, 2020.
  17. Saeed T. Abbas I, Marin M. A GL model on thermo-elastic interaction in a poroelastic material using finite element method, Symmetry, 12 (3): 488, 2020.
  18. Davarzani H, Marcoux M, Quintard M. A local thermal non-equilibrium model for coupled heat and mass transfer with dispersion and thermal diffusion in porous media, Journal of Porous Media, 24 (11): 37‒63, 2021.
  19. Saeedmonir S, Khoei AR. Multiscale modeling of coupled thermo-hydro- -mechanical analysis of heterogeneous porous media, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 391: 1‒34, 2022.
  20.  Yi D, Yi L, Yang Z, Meng Z, Li X, Yang Ch, Zhang D. Coupled thermo- -hydro-mechanical-phase field modelling for hydraulic fracturing in thermo- -poroelastic media, Computers and Geotechnics, 166, 105949, 2024.
  21. Yu J, Zhao J, Zhao S, Liang W. Thermo-hydro-mechanical coupled material point method for modeling freezing and thawing of porous media, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 48: 3308–3349, 2024.
  22.  Shivay ON, Mukhopadhyay S. A porothermo-elasticity theory for anisotropic medium, Continuum Mechanics and Thermodynamics, 33 (6): 2515‒2532, 2021.
  23.  Gawin D, Pesavento P, Schrefler BA. What physical phenomena can be neglected when mode-ling concrete at high temperature? A comparative study. Part 1: Physical phenomena and Mathematical model, International Journal of Solids and Structures, 48: 1927‒1944, 2011.
  24.  Cheng P, Zhu H, Zhang Y, Jiao Y, Fish J. Coupled thermo-hydro-mechanical- phase field modeling for fire-induced spalling in concrete, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 389, 2022.
  25. Miao K, Pan Z, Fang X. A coupled thermal-mechanical-phase field model for concrete under fire, Bridge Maintenance, Safety, Management, Digitalization and Sustainability, 3941‒3949, 2024.
  26. Piekarski S. On the thermodiffusion equation for electrically charged matter, Journal of Technical Physics, 46 (2): 83‒95, 2005.
  27.  Jędrzejczyk-Kubik J. O termodyfuzji w polu elektrycznym, Roczniki Inżynierii Budowlanej, 6: 41‒45, 2006.
  28.  Othman MIA. Generalized Electro – Magneto – Thermoelasticity in Case of Thermal Shock Plane Waves for Finite Conduction Half-Space with Two Relaxation Times, Mechanics and Mechanical Engineering, 14 (1): 5‒30, 2010.
  29.  Alqahtani Z, Abbas I, El-Bary AA, Almuneef A. Magneto-electro-thermoelastic interaction in unbounded media containing cylindrical cavities caused by a pulsed heat flux, Physics of Fluids, 37, 2, 027111, 2025.
dr inż. Magdalena Sosnowska, Politechnika Bydgoska im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich; Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
ORCID: 0000-0002-1158-5943
dr inż. Magdalena Lachowicz, Politechnika Bydgoska im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich; Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
ORCID: 0000-0003-4047-2769
prof. dr hab. inż. Adam Podhorecki, Akademia Kujawsko - Pomorska w Bydgoszczy; Wydział Nauk Inżynieryjno - Technicznych
ORCID: 0000-0002-9569-1769

dr inż. Magdalena Sosnowska, Politechnika Bydgoska im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich; Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
ORCID: 0000-0002-1158-5943

Correspondence address: magdalena.sosnowska@pbs.edu.pl

Full paper:

DOI: 10.15199/33.2026.04.03

Article in PDF file

Received: 13.10.2025 r. / Artykuł wpłynął do redakcji: 13.10.2025 r.
Revised: 26.11.2025 / Otrzymano poprawiony po recenzjach: 26.11.2025 r.
Published: 22.04.2026 r. / Opublikowano: 22.04.2026 r.